knop: (qr)
(На сей раз, наверное, решения "на пальцах" не будет. Хотя все может быть...)

В каждую пачку стирального порошка Tide вложена (случайным образом с равной вероятностью) одна из букв T,I,D,E. Если собрать полный комплект букв, то можно получить пачку порошка бесплатно.
Найдите вероятность того, что хозяйка, купившая 8 пачек порошка, сможет получить две бесплатных пачки.

Комменты пока скрыты - продолжительность скрытия зависит от активности решателей ;-)

17.11. Раскрыл все. В общем, правильный подсчет получается, если сосчитать вероятность получения двух комплектов букв из ДЕВЯТИ пачек - восьми купленных и одной призовой. Числитель дроби - мультиномиальный коэффициент, знаменатель - 4^9.
knop: (qr)
Пусть σ - случайно выбранная перестановка множества {1,2,…,n}. Чему равна вероятность того, что 1 и 2 входят в один и тот же цикл этой перестановки?

Комменты скрыты. Постарайтесь придумать решение "на пальцах", не требующее суммирования выражений с факториалами и прочими комбинаторными штуками. ;-)

3.11.2013. Раскрываю все комменты и здесь. Честно говоря, поводом к публикации послужило удивительно непростое решение, которое я прочитал в источнике:
http://exwiki.org/mw/index.php?title=Probability_of_a_permutation_having_1_and_2_in_the_same_cycle

Аналогичное вычислительное решение там приведено для другой простой "пальцевой" задачи - найти вероятность того, что 1 входит в цикл длины k (ответ = 1/n, естественно). Вот, полюбуйтесь
http://exwiki.org/mw/index.php?title=Probability_of_a_random_permutation_having_a_cycle_of_length_k_containing_1
и затем придумайте простое пальцевое решение.
knop: (uzel)
ЖЖ-френд, попросивший представить его как "ExH Team", предложил мне для публикации такую забавную задачку по "наивному теорверу".
(Идею я полностью сохранил, антураж немного испортил)

Кофейный автомат имеет три кнопки: "0", выдающую кофе без молока, "1", выдающую кофе с молоком, и "?", выдающую какой-то из этих двух напитков случайно с вероятностью 50%. К сожалению, надписи на кнопках стёрлись, и вы не знаете, где какая. Какое наименьшее количество нажатий необходимо сделать в среднем, чтобы определить функцию (надпись) каждой кнопки?

Комменты пока, как обычно, скрыты. Некоторые, не содержащие полного решения, буду открывать по своему усмотрению

PS. Есть несколько совсем правильных решений и несколько не совсем. Тех, кто не догадался до возможности "чуть-чуть сэкономить" в части случаев, приглашаю еще подумать: да, в большинстве случаев то, что вы написали, и будет оптимальным алгоритмом, но ПОРОЙ (оцените вероятность) может повезти - и вы успеете на ход быстрее. А значит, в среднем имеете тоже не сколько-то (вспомните оцененную вероятность) быстрее.

PPS. Те, кто дошли до ответа 6.5, приглашаются подумать ещё немножко. Это тоже не предел. Сообразите, в чём ещё вам может повезти.
knop: (Default)
Бесхитростная вероятностная задачка вызвала немалый фурор среди моих читателей... Однако.
По сему случаю - сиквел.

В коробке изначально лежали шесть шариков - три красных и три синих. Один из них - назовём его А - был оттуда вынут. К сожалению, история не сохранила для нас информацию о том, какого цвета он был. После этого два наблюдателя - Алиса и Боб - имеют возможность вынимать шарики из коробки (за один ход - один шарик), смотреть на цвет вынутого шарика и возвращать шарик обратно в коробку. С помощью таких опытов они хотят догадаться о том, какой же цвет имел шарик А.

Алиса вынимала шарик из коробки 6 раз - все разы это был красный шарик.
Боб вынимал шарик 600 раз - 303 раза это оказался красный шарик, а 297 раз - синий.
Ясно, что после этих экспериментов и Алиса, и Боб склоняются к выводу, что шарик А был синим.
Спрашивается, у кого из них больше оснований для такого вывода?

P.S. Открыл все комментарии. Правильный ответ - основания для предпочтения синего шарика у них абсолютно одинаковы. Объяснений дано много, кому интересно, почитайте в комментах. Наиболее "пальцевое" - у Ромы7: http://knop.livejournal.com/239882.html?thread=5626634#t5626634
knop: (Default)
Алиса и Боб бросают игральную кость (каждый свою).
Алиса продолжает броски до тех пор, пока в двух последовательных ее бросках не выпадет 1+1.
Боб - до тех пор, пока в двух последовательных бросках не выпадет 1+2 (именно в таком порядке).
Кто из них (в среднем) достигнет желаемого результата быстрее? И почему?

(Не нужно вычислять точно ожидаемое число бросков. Достаточно сравнить эти ожидания.)

Комменты скрыты.

27.04.2011. Открыл комменты. Правильный ответ - Боб в среднем получит "свою" комбинацию быстрее. Причину можно объяснить по-разному. Проще всего посмотреть на то, что происходит после выпадения единицы на k-м ходу. Конечно, шансы на то, что на (k+1)-м ходу Алиса или Боб получат "свою" комбинацию, у них одинаковы. А вот если не получат? Если у Алисы на (k+1)-м броске выпала не 1 - все, шансов закончить игру на следующем ходу у нее нет никаких. Если у Боба выпала не 2, то у него все-таки есть шансы получить выигрыш на следующем ходу; это происходит примерно в 1/36 всех случаев, когда на (k+1)-м ходу выпадает 1, а на (k+2)-м - 2.
Таким образом, ожидаемое число бросков Боба меньше, чем у Алисы.

P.P.S. Подсчитать тоже можно. Для Алисы ответ 42, для Боба 36.
knop: (Default)
Ничего особенного, но непрофессионалы, как показывает практика, очень легко ошибаются...

Шесть шаров случайным образом раскладывают в три ящика. Найти вероятность того, что во всех ящиках окажется разное число шаров, при условии, что все ящики не пустые.

Комменты скрыты.

P.S. Уже чуть-чуть подраскрыты.
Человек, который вчера мне задал эту задачку, был в состоянии, близком к панике: "Что за черт? Почему очевидный ответ не подтверждается численным моделированием на компьютере?!". Не успокоился, пока мы с ним не получили ответ, который подтверждается...

PPS. Уже раскрыты совсем. Я считаю правильным ответ 2/3, хотя и понимаю, что существует некоторая интерпретация задачи, при которой ответом будет 6/10. Просто она сильно нетрадиционная для вероятностных задач о шарах. Возможно, это именно то, о чем [livejournal.com profile] rioman написал, что люди путают шары с электронами. Поскольку я не спец в электронах, мне тяжело об этом судить.
Традиционно "случайное" распределение N объектов по M хранилищам получается в теорвере так: берется первый объект, и для него рандомно выбирается номер хранилища (от 1 до M), потом то же самое независимо делается для второго, третьего и последующих объектов.
knop: (Default)
Продолжим психолого-матепматические загадки...

На одной из боковых граней 5-гранного карандаша имеется логотип фирмы-изготовителя. Карандаш покатился по столу. Какова вероятность того, что в момент остановки грань с логотипом будет сверху?

Комменты уже открыты. Никаких выводов не делаю - сами читайте :-)

April 2017

S M T W T F S
      1
234567 8
9101112131415
16171819202122
23242526272829
30      

Syndicate

RSS Atom

Style Credit

Expand Cut Tags

No cut tags
Page generated Jul. 25th, 2017 06:36 am
Powered by Dreamwidth Studios